APÉNDICE B. Metodología econométrica básica

Estacionariedad
El concepto de estacionariedad es de suma importancia en la teoría de la cointegración. Aquí se utilizará el concepto de estacionariedad en sentido débil, o de segundo orden, y se refiere a la misma simplemente como estacionariedad. Considerando una serie temporal como la realización de un proceso estocástico, se dirá que éste es estacionario en sentido débil si tiene momentos de primer y segundo orden finitos y que no varían en función del tiempo. Formalmente, un proceso estocástico x(t) es estacionario en sentido débil si

     

con   y  constantes a lo largo del tiempo. De ahora en adelante consideraremos únicamente procesos estocásticos en tiempo discreto, sin hacer referencia a los de tiempo continuo.
La presencia de no estacionariedad únicamente en la media, es decir, en el momento de primer orden, puede recogerse introduciendo elementos deterministas -tales como tendencias lineales o polinómicas, tendencias segmentadas, variables ficticias, etc en la especificación del proceso. En caso de que la introducción de estos elementos deterministas capture la no estacionariedad en media del proceso, la inferencia estándar es aplicable bajo los supuestos básicos clásicos. Así, por ejemplo, los estimadores MCO tendrán distribuciones asintóticas normales. En cambio, como tendremos ocasión de observar, la presencia de tendencias en la varianza (momento de segundo orden) origina que las distribuciones utilizadas en la inferencia estándar no sean aplicables, y que algunos estadísticos (contrastes de la t, F, etc...) converjan hacia distribuciones no degeneradas en lugar de hacerlo hacia distribuciones degeneradas.
Las tendencias en varianza, es decir, que la varianza sea función del tiempo, pueden estar provocadas, entre otros motivos, por la existencia de raíces unitarias en el polinomio de la representación autorregresiva del proceso. El ejemplo más simple de no estacionariedad en varianza causada por una raíz unitaria en el polinomio autorregresivo es el paseo aleatorio (random walk):

		    con    		(B.1.)
										                 
donde  es un ruido blanco (R.B.) y L es el operador retardo, de forma que . La no estacionariedad en varianza del paseo aleatorio se comprueba al sustituir recursivamente en la expresión, llegando a:

por lo que si  = 1,  es la varianza de   y la var(xo) = O, la varianza de  será . Claramente, se observa que el proceso de paseo aleatorio tiene una tendencia en la varianza y que ésta viene causada por la raíz unitaria en el polinomio autorregresivo. A estas tendencias también se las denomina tendencias estocásticas, distinguiéndose de las deterministas en que las últimas son tendencias en la media del proceso. En general, tendrán tendencias estocásticas todos los procesos ARIMA.
Cuando un proceso estocástico presenta una raíz unitaria en el polinomio autorregresivo (tendencia estocástica, en varianza), es decir, presenta el factor (1 -L), diremos que el proceso es integrable -o integrado de orden 1, y se suele escribir como I(1). Una explicación intuitiva de por qué se llama integrado se obtiene a partir de (B.1), donde se puede expresar como:

donde se observa que  es la "integración" -entendida como suma de (posiblemente infinitos) términos de . Ello ocasiona que dichos procesos tengan memoria ilimitada, frente a los no integrados que la tienen limitada, ya que el valor actual de  depende de todos los shocks aleatorios () pasados, sin que el efecto de éstos se vaya diluyendo en el tiempo hasta desaparecer.
La aplicación del operador diferencia, =(1-L), a una variable con una raíz unitaria en su polinomio autorregresivo la transforma en una nueva variable estacionaria en varianza. Si hubiésemos de aplicar d diferenciaciones para conseguir que la variable fuese estacionaria estaríamos ante un proceso I(d), de la misma manera que si el proceso ya fuera estacionario en varianza sería I(0). El valor de d se denomina orden de integrabilidad de . Dado que a una serie integrada de orden d, I(d), para transformarla en estacionaria se le deberá aplicar el polinomio (1 L), y éste tiene d raíces (soluciones) de valor 1, es decir, d raíces unitarias, al referirnos al contraste del orden de integrabilidad de una serie nos referiremos habitualmente a él como prueba de raíces unitarias.

Contrastes de raíces unitarias
Los procedimientos utilizados para determinar el orden de integrabilidad de una variable son de dos tipos: los empleados en la metodología Box-Jenkins y los procedimientos basados en contrastes. Los primeros, en los que se basaba el análisis tradicional de series temporales, consisten en el examen gráfico de la serie y de los correlogramas (funciones de autocorrelación simple y parcial de la serie en cuestión). Para este primer método se esperaría que en el caso de series estacionarias, la función de autocorrelación declina rápidamente, al contrario de lo que sucede en presencia de una raíz unitaria que lo hace de forma irregular y prolongada. Este procedimiento, a pesar de su cómoda y fácil implementación no presenta la formalidad requerida y sus resultados pueden en muchos casos ser interpretados discrecionalmente. Por ello, además de examinar la varianza de la serie con distintos órdenes de diferenciación, se han ido planteando diversos contrastes de raíces unitarias, algunos de los cuales (los más utilizados) se explicaran más adelante.
Concretamente se hará referencia a las diferentes versiones del test de Dickey-Fuller y el test de Phillips-Perron. Los cuales son utilizados en el capítulo 4 para probar la estacionariedad de nuestras variables. 

Contraste de Dickey-Fuller (DF) y Dickey-Fuller Ampliado (ADF)

El primero de estos dos contrastes fue propuesto por Dickey y Fuller (1979) para el caso en que el proceso sea un paseo aleatorio bajo la Ho  y un proceso AR(1) estacionario bajo la alternativa. Posteriormente, en el año de 1981 lo amplían para el caso en que el proceso siga un esquema AR (p) estacionario bajo la hipótesis alternativa. Esta generalización del anterior se conoce como contraste de Dickey-Fuller Ampliado. 

Supongamos que  sigue un esquema AR(p) sin deriva (término constante): 

		(B.2.)

La ecuación característica del polinomio autorregresivo de  es:

siendo , ,..., las raíces características del proceso. Si <1 entonces xt converge a un proceso estacionario.
	La contratación de dicha hipótesis en el caso de una AR(1) se puede plantear mediante la estimación de:

						(B.3.)

Estableciendo que la  como , es decir, que xt ~ I(0), frente a la . Es, por tanto, un contraste a una cola. Dicho contraste puede efectuarse con dos estadísticos: 1) el sesgo normalizado , obtenido a partir de la estimación MCO de (B.3.); y 2) con un contraste de la t de la estimación MCO de , siendo la H0 el valor unitario de ese parámetro. En la práctica es habitual utilizar este último, aunque al ser más directa y cómoda la constrastación de la hipótesis de significación de un parámetro (nulidad del mismo), se puede estimar por MCO el modelo que equivale a estimar el anterior:

				(B.4.)

donde . Por tanto, contrastar la hipótesis nula de existencia de una raíz unitaria  en (B.3.) equivale a contrastar en (B.4.). La hipótesis alterna sería Ha: < 0. Por tanto, los valores críticos serán negativos, por lo que si se obtiene un valor inferior a esos valores críticos del estadístico de prueba se rechazará la hipótesis nula.
	La distribución del estimador de  no es independiente de la presencia de un término constante y/o de una tendencia determinista en la especificación de la ecuación del contraste. Por lo tanto, se deben considerar separadamente estas posibilidades. Así tendremos:

			(B.5.)

contrastándose la hipótesis nula H0:  = 0 con los ratios t asociados a  en cada especificación:  respectivamente, cuya distribución tanto asintótica como para distintos tamaños muestrales, aparecen en Fuller (1976). En Dickey y Fukker (1981) se presentan los valores críticos sobre la significación individual de los parámetros  y  en las especificaciones b) y c).
	Debido a las distintas implicaciones de los tres modelos sobre el comportamiento de la variable y con la intención de maximizar la potencia des estos estadísticos, varios autores han propuesto seguir la estrategia de análisis a partir del modelo más general, siendo el modelo más sencillo el que mayor peso dentro del análisis:

•	Examinar la ecuación (B.5.c), el modelo más general. Si no rechazamos la hipótesis de raíz unitaria y  es no significativa,
•	Examinar la ecuación (B.5.b), si la hipótesis nula de raíz unitaria no es rechazada y  es no significativa,
•	Examinar la ecuación (B.5.a)

Al plantear este contraste se está suponiendo que t no está autocorrelacionado. Pero este supuesto no tiene porque cumplirse, por lo que la inferencia en cualquiera de las tres ecuaciones planteadas se verá afectada. Se han propuesto dos tipos de solución a este problema:

a)	Solución paramétrica. Elaborada por Dickey y Fuller en 1981 que consiste en establecer en el test DF una estructura de retardos de la variable dependiente que permita capturar el proceso autorregresivo de está, quedando el término de perturbación lo menos correlacionada posible. A esta modificación de la prueba se le conoce como el test de Dickey-Fuller Ampliado (ADF) y consiste en estimar: 	            Con p lo suficientemente grande para garantizar que t sea aproximadamente ruido blanco. La distribución asintótica de los parámetros  es la misma que en el DF e independiente de los parámetros , los cuales siguen asintóticamente una distribución normal bajo la H0. La inclusión de los retardos dependerá de su significancia según el t-estadístico contrastado con las tablas de la t-Student y de algún criterio de información como Akaike o Schwart mínimos.Debe tenerse en cuenta que un número excesivo de retardos reducirá la potencia del contraste, mientras que si no se especifica suficientes no se recogerá toda la autocorrelación residual, por lo que los valores críticos tabulados no serán aplicables.

b)	Solución no Paramétrica. Propuesta por Phillips (1987) y Phillips y Perron (1988) sugiere transformar los estadísticos del test de DF para hacerlos compatibles con la presencia de autocorrelación y heterocedasticidad en el término de perturbación. La idea es utilizar los residuos estimados t en la regresión de DF para corregir el estadístico t asociado a los parámetros. De esta forma obtenemos unos nuevos estadísticos z(t), z(t) y z(t) que tienen las misma distribuciones límite de los estadísticos tabulados en Fuller (1976). Sin embargo, los resultados asintóticos de esta solución deben ser tomados con prudencia cuando trabajamos con muestras finitas.

Cointegración
	La teoría económica sugiere relaciones de equilibrio que son funciones estacionarias de las variables originales. Es decir, los desequilibrios son transitorios y, por tanto, estacionarios. La integrabilidad es una propiedad dominante, lo que significa que la suma o combinación lineal de procesos de distinto orden de integrabilidad es del mismo orden que el proceso de orden mayor. 

Es decir, si
    con    

entonces: zt ~ I(max(e,d)). En términos similares, la combinación lineal de dos procesos con el mismo orden de integrabilidad es, en general, de ese orden de integrabilidad.

	Es decir, la serie resultante presentará una tendencia en varianza resultado de la combinación de las que presentaban las variables originales. La excepción a este caso general es lo que se denomina cointegración.
El concepto de cointegración se debe a Engle y Granger (1987) y puede ser definido de la siguiente forma:

“Los componentes de un vector Yt(m x 1) se dice que están cointegrados de ordenes d y b, y se denota por Yt ~ CI(d,b), si:
•	todos los componentes de Yt son integrables del mismo orden d, I(d),
•	existe un vector , no nulo, tal que ’Yt=zt ~ I(d-b), con b>0. 
Al vector  se le denomina vector de cointegración.

El caso más comúnmente considerado es aquel en que d=b=1, es decir que todos los elementos de Yt sean I(1) y zt sea I(0), estacionario. La existencia de una relación de cointegración entre un conjunto de variables suele interpretarse como la presencia de una relación lineal de equilibrio entre ellas, que esta dada por el vector de cointegración. Centrándonos en el caso de variables I(1), las desviaciones de este equilibrio, medidas por zt, recogen el retardo en la respuesta de la variable dependiente ante cambios en las explicativas. Pues bien, en este caso de cointegración, estas desviaciones son estacionarias y tienen una varianza que no es función del tiempo. En otras palabras, aunque las variables implicadas en la relación sean integradas, es decir, con varianza infinita a largo plazo, existe una relación de equilibrio de largo plazo entre las variables talk que las situaciones de desequilibrio son de carácter estacionario (I(o)) y, por tanto, transitorias.

Mecanismo de corrección del error y el teorema de representación de Granger.

Un modelo de MCE combina variables en niveles y en primeras diferencias. Las relaciones establecidas entre las variables en niveles actúan como un servomecanismo que interviene en la relación entre las variables diferenciadas para retornar a la situación de equilibrio a largo plazo.
En términos formales, un vector Yt(m x 1) admite una representación MCE si podemos expresarlos como:

donde t es una perturbación multivariante estacionaria; A(L) es una matriz (m x m) polinómica en el operador de retardos que cumple: A(0)=Im y que  A(1) tienen todos los elementos finitos; y, finalmente, 0. Cabe resaltar que en esta especificación no se supone exogeneidad sobre ninguna de las variables.
La relación formal entre este tipo de modelo y las relaciones de cointegración la establece el teorema de representación de Granger (Granger, 1981 y Engle y Granger, 1987), el cual demuestra, entre otras cosas, que:
•	Si un vector de variables es CI(1,1), existe un mecanismo de corrección del error válido para representar el Proceso Generador de Información (PGI)
•	Si el PGI de un conjunto de variables admite una representación MCE, éstas están cointegradas.

Este mismo teorema establece el isomorfismo entre la representación como MCE, como vector autorregresivo y como media móvil. 
A manera de ilustrar los modelos presentados en el capítulo 4 de esta tesis, nos ceñiremos, sin pérdida de generalidad, al caso de dos variables I(1). En este caso, descomponiendo la matriz  en ’, el MCE vendría dado por:

		(B.6)

donde se imponen las siguientes restricciones:
•	el vector (1, -)’ es el mismo en ambas ecuaciones. Dicho vector veremos que es de cointegración  y que será  único en el caso de dos variables;
•	los polinomios i(L) y i(L) no tienen raíces en el círculo de radio unidad;
•	al menos uno de los parámetros i(i=1,2), conocidos como parámetros de velocidad de ajuste, no es nulo.

En la expresión (B.6) se constata que si xt, yt ~ I(1), todos los términos que aparecen en cada ecuación serán estacionarios en varianza excepto el término entre corchetes. Para que este término sea estacionario es necesario que xt e yt están cointegradas. En caso contrario las ecuaciones no estarían en equilibrio. La única forma de que están equilibradas, cuando no hay cointegración, es que ambos parámetros de velocidad de ajuste fueran nulos, incumpliéndose la tercera condición.

Variación estacional
El término variación estacional se refiere a movimientos sistémicos, no necesariamente regulares, que dentro de cada año presentan las series de tiempo económicas. Los movimientos estacionales se suponen originados por fuerzas exógenas consideradas incontrolables y, en consecuencia, son eliminados antes de un análisis más detallado. A este proceso  de eliminar dichas fuerza se le conoce como desestacionalización de una serie dada. Hablando en sentido amplio, hay dos métodos de ajuste estacional: el método oficial y el método de mínimos cuadrados. 
El método de desestacionalización que generalmente utilizan los departamentos oficiales es el denominado método del coeficiente de medias móviles. Brevemente, consiste en tomar una media móvil central de la serie origina, dividiendo a continuación esta última por la media móvil para obtener una estimación preliminar del componente estacional, y entonces ajustar esas estimaciones de tal modo que la suma de la serie ajustada estacionalmente para el año del calendario sea igual a la suma de la serie original.
En cambio, el método de los mínimos cuadrados estima el componente estacional estableciendo la regresión de la serie original sobre algunas variables estacionales: Usualmente, estas variables estacionales se consideran como variables ficticias; así, por ejemplo, con datos trimestrales formamos la regresión de xt sobre tres variables ficticias,

D2 =1  si la observación corresponde al segundo trimestre
     =o  en otro caso
D3 =1  si la observación corresponde al tercer trimestre en otro caso
     =o  en otro caso
D4 =1  si la observación corresponde al cuarto trimestre
     =o  en otro caso

Entonces los residuos de esta ecuación son adoptados como valores de la serie ajustada estacionalmente.
Hay dos problemas implicados en este método. Primero, la suma de los residuos de la ecuación de regresión es cero y, por consiguiente, la suma de la serie ajustada estacionalmente es también igual a cero. Lo que queremos es que la suma de la serie ajustada estacionalmente sea igual a la suma de la serie original. Esto podemos lograrlo añadiendo la media a cada observación en la serie ajustada estacionalmente y obtenida a partir de la ecuación de regresión (constante).
El segundo problema es que la estimación de los coeficientes de regresión correspondiente a las variables ficticias estacionales da simplemente las medias de los trimestres segundo, tercero y cuarto, respectivamente, y esto no parece resultar muy plausible. Este problema no aparece si estimamos movimientos estacionales ¡e introducimos también algún término de tendencia en la ecuación.
En su discusión del ajuste estacional, Lovell se refiere a algunas implicaciones lógicas de ciertos requisitos simples de consistencia que deberían satisfacer los procedimientos de ajuste estacional. Si Xt es la serie sin ajustar y Xat es la serie ajustada, las propiedades que Lovell define son:

1. Suma constante: (Xt+Yt)a = Xat+Yat
Como ilustración, supongamos que Xt sea el empleo e Yt el desempleo, de tal forma que Xt+Yt = Fuerza de trabajo total. Entonces el ajuste estacional de la fuerza de trabajo sería igual a la suma del empleo y desempleo ajustados estacionalmente

2. Producto constante: (XtYt)a = (Xat) (Yat)
Como ejemplo, sea Xt una cantidad real e Yt el índice de precios, de tal modo que XtYt es la cantidad nominal. Lo que la propiedad de producto constante dice es que la cantidad nominal ajustada estacionalmente es igual al producto de la cantidad real ajustada estacionalmente por el índice de precios ajustado estacionalmente. Si el ajuste mantiene constante el producto, ello es independiente de si ajustamos estacionalmente cualquier serie deflactada o bien deflactamos la serie nominal mediante el índice de precios ajustado estacionalmente.
Lovell prueba que si un procedimiento de ajuste verifica las propiedades de suma y producto constante, es trivial porque implica que Xat = Xt o Xat = 0. Por consiguiente, no podemos insistir en que las dos propiedades se cumplan simultáneamente.

3. Ortogonalidad: Esta propiedad establece que podríamos tener t(Xt-Xat)Xat=0. SI esta condición no se satisface, ello implica que los términos corregidos estacionalmente están correlacionados con la serie ajustada, lo cual significa que alguna estacionalidad se mantiene en los datos.

4. Idempotencia: Esta propiedad dice que (Xat)a = Xat para todo t. Si esta condición no se cumple, sometiendo la serie una vez más a un ajuste estacional, obtendremos una serie diferente. Esto prueba que el procedimiento es deficiente.
5. Simetría: Esta propiedad establece que

para todo t y s. Este requisito establece que si cambia la observación Xt o cualquier otra, la serie ajustada estacionalmente podría resultar afectada de una forma simétrica.
Lovell entonces prueba que un procedimiento de suma constante, que posee dos de las propiedades de ortogonalidad, idempotencia y simetría también satisface la tercera propiedad. También arguye que el procedimiento oficial de ajuste no satisface las mencionadas propiedades elementales, pero sí el método de mínimos cuadrados. En consecuencia, este autor defiende el procedimiento de mínimos cuadrados.

Econometría básica
Durante la elaboración de los Modelos Econométricos (ME), se supone la existencia de un Proceso Generador de Información (PGI), desconocido para nosotros, el cual, se encarga de asignar o elegir como explicar a la variable dependiente o endógena por medio de un conjunto de información relevante que esta afectando a dicha variable endógena o dependiente. Suponemos que los datos estadísticos corresponden a una posible realización de dicho PGI, y estos datos se comportan con cierto grado de incertidumbre, lo cual, nos permite utilizar la teoría estocástica que asocia las series económicas con determinadas distribuciones de probabilidad y a una dimensión multidimencional. Por lo anterior, los datos obtenidos en las series económicas son, entonces, variables aleatorias; lo cual  le da sentido a la utilización de métodos probabilísticos, y al método econométrico en el análisis económico del trabajo.
Dentro de todo ME, existe un Mecanismo Generador Estadístico (MGE), que representa una primera aproximación al PGI y se compone del modelo probabilístico y del modelo muestral. El MGE  es una formalización probabilística que contiene la información muestral elaborada para analizar el modelo a estimar. El modelo probabilístico (MP) representa un conjunto de funciones de densidad de probabilidad de los datos, mientras que el modelo muestral (MM) agrupa al conjunto de las variables independientes e idénticamente distribuidas (IID) cuyas funciones de densidad coinciden con aquellas del modelo probabilístico. El MM indica si estamos en presencia de una muestra aleatoria (variables IID) o no aleatoria. El MGE sintetiza la información teórica y empírica relevante del PGI, así como también concentra la información dada por el modelo probabilístico y el modelo muestral y propone a priori una distribución estadística de la muestra de datos.

El MGE del ME se define como:
				     yt=E(yt|xt) + t
En donde, 	yt=E(yt|xt) es el componente sistemático (media condicional) y t es el componente no sistemático (término de perturbación).

El MP se define como:
				(yt|xt)~f(y|x;)

El MM se define como:
				X:= (x1,x2,x3,…,xn) es IID.

 Por lo tanto, una vez identificado las parte del ME, este debe de  satisfacer los siguientes supuesto subyacentes a él:

I) 	Supuestos relativos el MGE.

1.	t = E(yt|Xt=xt) =  xt  es el componente sistemático, y t = yt - E(yt|Xt=xt) es el componente no sistemático. El componente sistemático contiene toda la información disponible sobre el fenómeno en cuestión y t es ortogonal al conjunto de información.
2.	= (, 2) son los parámetros estadísticos de interés,   k
3.	No hay información a priori sobre =(,2). Si esos son los parámetros estadísticos, no necesariamente iguales a los teóricos, no hay razón para que exista información alguna acerca de ellos antes de estimar el modelo.
4.	Las variables utilizadas no son perfectamente colineales. Esto es el rango de (X(t))=k para toda Nk donde N es el tamaño de la muestra y k el número de parámetros.
5.	Xt es débilmente exógena respecto a =(,2). Esto significa que los parámetros son constantes en el tiempo ya que las variables exógenas del modelo no contienen información adicional que modifique el valor de los parámetros estimados.

II) 	Supuestos relativos al MP.

6.	Este supuesto indica que las series estocásticas pueden definirse como normales e idénticamente distribuidas con media cero y varianza constante.

D(yt|Xt:) tiene una distribución normal.
E(Yt|Xt=xt) = xt es lineal en x
V(yt|Xt=xt) = 2 es homocedástica.

7.	 = (, 2) son invariantes en el tiempo. Esto permite que las series económicas puedan entonces ser representadas por un conjunto finito de parámetros. Este supuesto esta estrechamente asociado con el supuesto 4.

III) 	Supuesto relativo al MM.

8.	(y1,y2,y3,…,yn) es una muestra independiente.

	Una vez planteado el modelo formalmente,  y habiendo estimado sus parámetros, es necesario verificar que el modelo propuesto es estadísticamente congruente como aproximación al PGI. Esto se comprueba haciendo un análisis de los ocho supuestos definidos, mediante las llamadas pruebas de diagnóstico o de especificación incorrecta.